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Fermioni e bosoni

Fermioni e bosoni

La statistica di Fermi Dirac

All’inizio degli anni Venti del secolo scorso diventò evidente che gli atomi e le molecole con un numero pari di elettroni sono chimicamente più stabili di quelli con un numero dispari di elettroni. Si pensava che gruppi di elettroni occupassero una serie di “gusci elettronici” attorno al nucleo.  Niels Bohr aggiornò il suo modello dell’atomo assumendo che le orbite con un certo numero di elettroni corrispondessero a gusci stabili. Le orbite di un atomo sono caratterizzate da una serie di valori di alcune grandezze fisiche che corrispondono a determinati valori numerici di grandezze fisiche come energia, velocità di rotazione e distanza dal centro. Questi numeri sono chiamati quantici. Come sono determinati questi numeri? E perché alcune serie di valori di questi numeri corrispondono a gusci stabili?

Il fisico austriaco Wolfgang Pauli cercò una spiegazione teorica per questi numeri, che erano stati trovati empiricamente. Pauli si convinse che il numero di elettroni in gusci chiusi può essere compreso se l’orbita di un elettrone è identificato da un altro numero quantico oltre i tre già noti. Il nuovo numero quantico fu identificato come lo spin che, in certe unità, può avere valore semi-intero o intero. Lo spin descrive una grandezza fisica che richiama la rotazione di una particella intorno al proprio asse.

Pauli ipotizzò inoltre che nessun elettrone potesse condividere con un altro elettrone lo stesso insieme dei quattro numeri quantici, perché in questo modo si spiegavano perfettamente la serie di numeri osservati. Le implicazioni di questa ipotesi sono sorprendenti: due elettroni possono trovarsi nello stesso luogo e istante, su un orbitale con la stessa frequenza e lo stesso orientamento, purché il quarto numero quantico sia diverso. Venne così formulato il “principio di esclusione” di Pauli che oggi è uno dei principi fondamentali della meccanica quantistica e che afferma che due particelle identiche con spin-semintero, come ad esempio gli elettroni, non possono condividere lo stesso set di numeri quantici ovvero non possono occupare simultaneamente lo stesso stato quantico. È stato dimostrato che il principio di esclusione di Pauli è responsabile della stabilità della materia ordinaria e dell’evidenza che  occupi un volume. Questo suggerimento fu fatto per la prima volta nel 1931 da Paul Ehrenfest, il quale sottolineò che gli elettroni di ogni atomo non possono cadere tutti nell’orbita a più bassa energia e devono occupare gusci successivamente più grandi. Gli atomi, quindi, occupano un volume e non possono essere schiacciati troppo strettamente insieme.

Fermi imparò a maneggiare il principio di esclusione di Pauli e iniziò a riflettere su come estendere questo principio dagli elettroni orbitanti attorno a un nucleo atomico ai singoli atomi di un gas: se gli elettroni invece di orbitare intorno al nucleo si trovano diffusi in un volume finito, come si comportano? Rispondendo a questa domanda Fermi fu in grado di spiegare lo strano comportamento di alcuni gas, che a pressioni molto alte o temperature molto basse subivano uno strano calo della capacità termica.  Essenzialmente la differenza tra la meccanica statistica classica e la nuova interpretazione di Fermi è la seguente: nella versione classica, l’assenza di calore implica l’assenza di moto e tutti gli atomi si trovano nello stato a energia più bassa. Nella versione di Fermi, invece, anche in assenza di calore vari atomi finiranno negli stati con energie più alte, perché per il Principio di Esclusione è impossibile che due atomi si trovino nello stesso stato e quindi, che abbiano la stessa energia.

L’articolo di Fermi ebbe subito grande risonanza poiché applicando la statistica di Fermi, diversi fisici riuscirono a calcolare il comportamento degli elettroni nei metalli, ottenendo predizioni che coincidevano con i dati sperimentali. La fama dell’articolo giunse fino in Inghilterra; fu così che lo lesse anche Paul Dirac, che tuttavia se ne dimenticò subito perché il problema trattato non rientrava nei suoi interessi del momento. Ma qualche mese più tardi si interessò al problema, lo studiò da zero ed escogitò un metodo leggermente diverso che arrivava comunque alle stesse conclusioni analitiche di Fermi. Fermi scrisse a Dirac per rivendicare la priorità della scoperta e Dirac inviò subito a Fermi un messaggio di scuse e da quel momento si riferì sempre alla scoperta con il nome di statistica di Fermi-Dirac, attribuendo generosamente a Fermi gran parte della paternità. Se ora chiamiamo “fermioni” le particelle che obbediscono al principio di esclusione è proprio perché Dirac riconobbe la precedenza di Fermi nella scoperta. La statistica di Fermi-Dirac descrive il comportamento di particelle che hanno valore dello spin semintero e viene usata in maniera estesa per lo studio degli elettroni nei solidi, ed è alla base dell’elettronica e della fisica dei semiconduttori che ha reso possibili scoperte come il transistor.

Le particelle con spin intero, come i fotoni, seguono invece la statistica di Bose-Einstein e si chiamano “bosoni” in onore del fisico indiano Satyendra Nath Bose che la formulò ed inviò i suoi risultati ad Albert Einstein che ne comprese l’importanza e li fece pubblicare.  I bosoni, non seguendo il principio di esclusione di Pauli, possono occupare in numero illimitato lo stesso stato energetico contemporaneamente, e a basse temperature tendono ad ammassarsi nello stesso livello di bassa energia formando un condensato di Bose-Einstein. La statistica di Bose-Einstein è particolarmente utile nello studio dei gas.